Inner Product

释义 Definition

inner product（内积）：线性代数与泛函分析中的一种运算，用来把两个向量映射为一个标量，用于刻画长度（范数）与夹角（正交性）等几何性质。常见例子是欧几里得空间中的点积（dot product），但“内积”概念更一般，适用于更抽象的向量空间。（也常被引申为“衡量相似度”的工具。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɪnər ˈprɑːdʌkt/

例句 Examples

The inner product of these two vectors is zero.
这两个向量的内积为零。

By defining an inner product, we can talk about orthogonality and projections in an abstract vector space.
通过定义内积，我们就能在抽象向量空间中讨论正交性与投影。

词源 Etymology

inner 来自古英语 innera，表示“内部的、内在的”；product 来自拉丁语 productus（意为“产生、生成”）并在数学中发展出“乘积”的含义。“inner product”作为术语用于强调它是向量空间内部定义的一种“乘积”结构，用来推广几何直觉（长度与角度）到更一般的空间。

相关词 Related Words

• Dot Product
• Scalar Product
• Orthogonal
• Projection
• Norm
• Angle
• Bilinear
• Hilbert Space

文学与经典作品 Literary Works

• Sheldon Axler，《Linear Algebra Done Right》：在定义与运用内积空间（inner product spaces）时频繁出现。
• Gilbert Strang，《Introduction to Linear Algebra》：用于解释点积、正交、投影与最小二乘等主题。
• Paul R. Halmos，《Finite-Dimensional Vector Spaces》：讨论内积结构与几何化的线性代数观点。
• Walter Rudin，《Real and Complex Analysis》：在与函数空间、正交展开等相关内容中涉及内积思想与相关结构。